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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设 ， ， 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（   C   ）

A．                                  B．

C．                                 D．

，未必等于 ．

2．已知 ，那么 （   B   ）

A．                      B．                       C．                        D．12

．

3．若矩阵 可逆，则下列等式成立的是（   C   ）

A．             B．                    C．      D．

，所以 ．

4．若 ， ， ，则下列矩阵运算的结果为 矩阵的是（   D   ）

A．                      B．                  C．                             D．

与 都是 矩阵，由此可以将前三个选项排除．

5．设有向量组 ： ，其中 线性无关，则（   A   ）

A． 线性无关                                        B． 线性无关

C． 线性相关                             D． 线性相关

整体无关 部分无关．

6．若四阶方阵 的秩为3，则（   B   ）

A． 为可逆阵                                               B．齐次方程组 有非零解

C．齐次方程组 只有零解                      D．非齐次方程组 必有解

， 有非零解．

7．设 为 矩阵，则 元齐次线性方程 存在非零解的充要条件是（   B   ）

A． 的行向量组线性相关                             B． 的列向量组线性相关

C． 的行向量组线性无关                             D． 的列向量组线性无关

存在非零解的充要条件是 ，即 的列向量组线性相关．

8．下列矩阵是正交矩阵的是（   A   ）

A．                                           B．

C．                                      D．

．

9．二次型 （ 为实对称阵）正定的充要条件是（   D   ）

A． 可逆                                                      B．

C． 的特征值之和大于0                              D． 的特征值全部大于0

10．设矩阵 正定，则（   C   ）

A．                      B．                      C．                             D．

， ， ．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

11．设 ， ，则 _____________．

．

12．若 ，则 _____________．

， ．

13．设 ，则 _____________．

， ， ，	， ， ，	， ， ，
．

14．已知 ，则 _____________．

由 ，得 ， ， ，所以 ．

15．向量组 的秩为_____________．

，秩为2．

16．设齐次线性方程 有解 ，而非齐次线性方程且 有解 ，则 是方程组_____________的解．

由 ， ，可得 ，即 是 的解．

17．方程组 的基础解系为_____________．

， ，基础解系为 ．

18．向量 正交，则 _____________．

由 ，即 ， ．

19．若矩阵 与矩阵 相似，则  _____________．

相似矩阵有相同的迹，所以 ， 2．

20．二次型 对应的对称矩阵是_____________．

．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．求行列式 的值．

解：

．

22．已知 ， ， ， ，矩阵 满足方程 ，求 ．

解：由 ，得 ，于是

．

23．设向量组为 ， ， ， ，求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组．

解：

，

向量组的秩为2， 是一个极大线性无关组．

24．求 取何值时，齐次方程组 有非零解？并在有非零解时求出方程组的通解．

解：

， 或 时，方程组有非零解；

时，

， ，通解为 ， 为任意实数；

时，

， ，通解为 ， 为任意实数．

25．设矩阵 ，求矩阵 的全部特征值和特征向量．

解：

，特征值 ， ．

对于 ，解齐次线性方程组 ：

， ，基础解系为 ， ，对应的全部特征向量为 ， 是任意不全为零的常数；

对于 ，解齐次线性方程组 ：

， ，基础解系为 ，对应的全部特征向量为 ， 是任意非零常数．

26．用配方法求二次型 的标准形，并写出相应的线性变换．

解：

作可逆线性变换

，

得标准形

．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．证明：若向量组 线性无关，而

，

则向量组 线性无关的充要条件是 为奇数．

证：设 ，即 ，

由 线性无关，可得齐次方程组 ，其系数行列式

，

       当且仅当 为奇数时， ，齐次方程组只有零解， 线性无关．