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全国2012年1月高等教育自学考试高等数学（工本）试题：

　　一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

　　在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

　　1.在空间直角坐标系中，方程x2+y2=2的图形是(　　　)

　　A.圆 B.球面

　　C.圆柱面 D.旋转抛物面

　　2.设函数f(x+y,x-y)= ,则f(x,y)=(　　　)

　　A. B. C. D. 3.设积分区域Ω：x2+y2+z2≤1，三重积分I= ，则(　　　)

　　A.I<0 B.I=0

　　C.I>0 D.I与z有关

　　4.微分方程 的通解y=(　　　)

　　A.C1e-x+C2e2x B. C1e-x+C2e-2x

　　C. C1ex+C2e-2x D. C1ex+C2e2x

　　5.下列无穷级数中发散的无穷级数是(　　　)

　　A. B. C. D.

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

　　请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

　　6. 设函数z=u+v, 而u=x+y, v=xy，则 =___________.

　　7. 设区域D：|x|≤1,0≤y≤1,则二重积分 的值等于___________.

　　8. 设λ是正常数，并且xyλdx+xλydy是其个函数u(x,y)的全微分，则λ=___________.

　　9. 微分方程 的一个特解为y*=___________.

　　10. 函数f(x)=sin x展开成x的幂级数为___________.

　　三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

　　11.求过点P(4，-1，2)并且与直线L： 平行的直线方程.

　　12.设函数z= ，其中f是可微函数，求 .

　　13.已知函数z=e3y(x2+2y-x)，求 .

　　14.求函数f(x,y,z)=xyz-x2-y2+3z在点(-1，-1, 2)处的梯度.

　　15.求曲面z=4-x2-y2上平行于平面2x+2y+z-7=0的切平面方程.

　　16.计算二重积分I= ，其中D是由坐标轴和直线x+y=4所围成的区域.

　　17.计算三重积分I= ，其中积分区域 ：x2+y2+z2≤1.

　　18.计算对弧长的曲线积分 ，其中L是连接点(1，0)和(0，1)的直线段.

　　19.计算对坐标的曲线积分 ，其中L是椭圆 的逆时针方向.

　　20.求微分方程(1+x2)dy+(1+y2)dx=0的通解.

　　21.求幂级数 的收敛半径和收敛区间.

　　22.设函数f(x)=x+1,x 的傅里叶级数展开式为 求系数a5 .

　　四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

　　23.求由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所构成的柱面和平面z=0及x+y+z=7所围成的立体的体积.

　　24.设无穷级数 和 均收敛，证明无穷级数 是绝对收敛.

　　25.设曲线y=y(x)在其上任意点(x,y)处的切线斜率为 ，且过点(-1，0)，求该曲线的方程.