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江苏专转本微分中值定理与导数的应用练习题答案

一、单项选择题（每小题4分，共24分）

1、已知 ，则 有    （B）

A　一个实根    　　B　两个实根   

C 　三个实根    　　D　无实根   

解：（1）

在 满足罗尔定理条件

故有 （ ）

综上所述， 少有两个实根 ，至多有两个根，故选Ｂ

 2．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是                　（D）

A　

B　

C　

D　

解：

，

满足罗尔定理条件．故选  D

3．设曲线 ，则其拐点坐标为（C）

A　0 　　　　　　　B（0，1）　

C（0，0）　　　　　D　1

解： ．令 ．得 ．

．当 时， ．

故（0，0）为曲线的拐点 　C

4．若 内

必有（C）　　　　　　　　　　

A　

B　

C　

D　

解：

凹弧

如示意图，故有

5．设

在 取得极值。则 为．．．（Ｂ）

A　     B　

C　    D　

解：⑴

①

⑵ ②

①—②  得 ①

得

答案选Ｂ

6．下列命题中正确的是----------（B）

A 为极值点，则必有

B 若 在点  处可导，且  为   的极值点，则必有

C 若 在（ ）有极大值也有极小值则极大值必大于极小值。

D 若 则点 必有 的极值点。

解：可导函数的极值点一定是驻点，故有 =0  选B

二、填空题（每小题4分，共24分）

7．设 可导，且 的极小值。则

解：原式=

8． 的单调增加区间为

解：（1）定义域 （2）

当0<x<e 时。  故 的单调增区间为（0，e）

9． 的极小值是

解：（1）

（2）令 ，驻点 ． 是 不可导点

（3）极小值

10． 的最大值为 1 

解：（1） 是 的不可导点。

（2）

（3）最大值为

11．曲线 的水平渐进线为＿＿

解：

∴直线 是曲线的一条水平渐进线

12．函数 在[1，2]满足拉格朗日中值定理条件的

解：（1） — =

（2）

三、计算题（每小题8分，共64分）

 13.已知 在区间 满足拉格朗日中值定理条件，求

解：

，

14．求函数 的单调区间

与极值。

解：（１）

驻点， 的不可导点

（2）

（3）极大值 ，极小值 ， 在 单调减

在 单调增

15 求由方程 所确定

的极值。

解：（1）求驻点：

令 →驻点

（2）判别极值点

当 时  代入上式

2+0+0+0+

= 为极大值点，

（3）极大值

16．求 在区间[ ，4]

上的最大值，最小值。

解：（ 1）

令 ，   为不可导点  

（2）∵

（3）比较上述函数的大小

最小值为   ，最大值为 0 

17．求曲线 的凹凸区间与拐点。

解：（1）定义域（--∞，+∞）

（2）      

令

得 ； 不存在的点为

（3）列表

答：拐点（0， ）及（1， ）； _，

为凹区间，（0，1）为凸区间。

18．求曲线 的水平渐近线与垂直渐近线。

解：（1） 是曲线的一条水平渐近线。

（2）

是曲线的另一条水平渐近线

（3）∵

为曲线的一条垂直渐近线

19．判别函数 在 的单调性。

解：（1）

（２）令

且

（3）

在 单调减。

20．设 确定 单调的区间。

解：（1）

故有 为驻点

（2）当 时，

时，

（3）除 外， ． 在 单调增加。

四、综合题（每小题10分，共２０分）

21 已知函数的图形上有一拐点（2，4），在拐点处曲线的切线斜率为 ，而且该函数满足 ，求此函数

解（1）已知；

（2）求常数

，

（3）求 ：

，

由

（4）求函数y:

答：所求函数y=

22 利用导数描绘 的图形

解：（1）定义域 ，非奇非偶函数

（2）求驻点和 的点

，令 ，驻点

，令 ，得

（3）列表

极大值 ，拐点

（4）渐近线与函数变化趋势

是曲线的一条水平渐进线，

（5）描点作图

当 时

五、证明题（每小题9分，共18分）

23 设

存在且 单调增加，证明当 时 单调增加

证明：1）令

当 时， 单调增加

故有 单调增加

24 设 证明 ，

证明：1）构造辅助函数：

（2） 且

由罗尔定理知

＊     选做题

证明方程： 恰有一实根，其中 常数，且

证明：（1）令

且

(4)综上所述： 有且仅有一个实根